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矩阵论

课程代码:SS991012,SS991002Z

课程负责人: 陈兆英
共建教师:
课程建设:校级精品课程 开课学院:数学科学学院

开课时间:2018年04月04日 学习人数:28人
有效时间: 永久有效 评分:
课程简介

矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具。1848年詹姆斯•约瑟夫•西尔维斯特首先创出matrix一词,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。1858年,凯莱发表了《矩阵论的研究报告》,系统地阐述了关于矩阵的理论,定义了矩阵的基本概念及相关运算法则,给出了方阵的特征方程和特征根(特征值)以及有关矩阵的一些基本结果,他一般被公认为是矩阵论的创立者。

矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。它可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等现代理论。矩阵方程论是线性代数研究的主要内容,对它的研究最早可追述到中国古代的数学著作《九章算术 方程》,在西方,这一理论的研究是在 17 世纪后期由莱布尼茨开创的;矩阵分解论的研究始于十七世纪末,C.F.Gauss提出了Gauss消去法,在此基础上导出LU分解。二十世纪六十年代在Givens变换和Householder变换的基础上发展起来QR分解,并以此建立起了QR方法,此方法与矩阵的满秩分解、奇异值分解成为近20年求解最小二乘方问题和最优化问题的主要工具。1920年E.H.Moore提出了广义逆矩阵的概念,1955年R.Penrose又对这一概念具体化,使这一领域得到深入的研究,并在数理统计、系统理论、优化计算和控制论领域得到广泛的应用,使广义逆矩阵成为矩阵论的重要分支,推动了矩阵论的发展。

作为一种基本工具,矩阵论在应用数学与工程技术学科中有着广泛的应用,如工业机器人技术、控制论与系统理论等。20世纪80年代以来,为了适应计算机计算的需要,矩阵理论逐渐成为我国高校在读研究生的一门公共基础课。

济南大学是一所综合性的大学,矩阵论课程是针对研究生开设的数学公共课之一,所涉及的专业主要有机械、控制、模式识别、应用数学、光学等理工学类专业。初期(2000年以前),矩阵论课程分作60学时和40学时讲授,之后分公共学位课54学时、公共选修课36学时、专业选修课54学时讲授。根据课程设置的安排,目前本课程有48学时公共学位课、32学时公共选修课与48学时的专业选修课供不同专业选择开设。

课程组非常重视矩阵论的课程建设与教学改革,一致由教学经验丰富的教师授课,师资力量精良,济南大学是一所本科教育占主要部分的综合性大学,在校研究生数量为本科生的5%左右,因此研究生是济大在校生的精英,这是客观上使济大研究生教育得到重视的原因;在教材的选择与使用方面,坚持选用优秀教材,2004年以前开设矩阵论课程所使用的教材分别选用史荣昌编写的《矩阵分析》与丁学仁等编写的《工程中的矩阵理论》,公共学位课60学时、公共选修课40学时;2005年至今,应用数学专业选修课矩阵论教材选用程云鹏等主编的《矩阵论》、公共学位课与公共选修课均选用张凯院等主编的《矩阵论简明教程》,目前该教材在国内已有较大的影响。

课程组教学思想活跃,教学研究深入细致,在矩阵论的教学内容、教学条件、教学方式与手段、教学研究等方面做了大量的工作。2007年课程组自行设计编写了“矩阵论电子课件”并在同年开展多媒体辅助教学,利用多媒体优势提高了教学效率,收到了良好的教学效果;2008年“创新矩阵论教学模式的研究”获山东省立项,从此使济南大学矩阵论的教学改革上了一个新的台阶,进一步促进了课程的深一层建设与发展;2008年矩阵论课程获校级精品课建设立项,使矩阵论课的教学与课程建设有了新的目标与发展方向,2009年建立矩阵论课程网站,构建了矩阵论课程的网络教学平台,已将相关的教学大纲、电子教案、习题补充、学习指导、考试试题与解答、参考文献、数学试验题选等上网,为研究生提供了丰富的自主学习平台。

目前矩阵论课程组师资队伍稳定,成员有明确的教科研分工,积极地探索创新研究生教学新模式,以学生为本,注重研究生创新思维、研究方法、能力等方面的培养。积极地参加国际国内学术活动,如2009与2010年举行的“第八、九届中国矩阵论及其应用国际会议” 等,了解把握本学科的发展前沿,学习借鉴国内、外先进教学理念和经验,为矩阵论课程建设与发展再上新台阶不断地努力。

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教学大纲

基本内容:

矩阵理论有极为丰富的内容。主要内容有:矩阵的Jordan标准形、 Hamilton-Cayley定理、酉相似下标准形、范数理论、矩阵分析(矩阵序列、矩阵级数、矩阵函数、矩阵的微分与积分等)、矩阵分解(三解分解、QR分解、满秩分解、奇异值分解)、矩阵特征值的估计、广义逆矩阵、矩阵的直积、矩阵的特征与广义特征值等基础理论,在此基础上进一步介绍了几个重要理论的应用,如范数理论的应用、矩阵分析理论的应用、Jordan标准形的应用、Hamilton-Cayley定理的应用、矩阵直积的应用等内容。

预备知识:

学习本门课程要求学生有较扎实的以下几方面的数学基础:1)函数的微分学、积分学理论与计算;2)级数的相关理论与计算;3)实数矩阵的相关理论与运算;4)线性方程组的理论与应用;5)向量的相关理论。

教学目的:

作为一种工具,矩阵理论在数学学科以及其他科学技术领域如数值分析、最优化一论、概率统计、运筹学、控制、力学、电学、信息科学与技术、管理科学与工程等学科都有十分重要的作用,它不仅表述简洁,便于进行研究,而且具有适合计算机处理的特点。因此,矩阵理论是从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。让学生熟练掌握矩阵运算, 能将向量空间及其变换的问题化为矩阵问题,用矩阵运算加以解决. 为进一步学习其它学科、进行科学研究以及在实际工作中加以应用打下坚实的基础. 培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力、用公理化方法处理问题的能力。培养几何直观和形象思维能力, 体验数学的探索和发现. 提高数学素养.

教学环节:

1.课堂讲授和多媒体辅助教学

这是主要的教学形式。课堂上以教师主讲为主,同时发挥教师的主导作用,充分调动学生学习兴趣,培养学生分析问题与解决问题的能力。

2.自学

自学是学生获得知识的重要方式,自学能力的培养也是开放的高等教育的目的之一,本课程的教学注意对学生自学能力的培养。学生可以通过自学、利用网上教学资源等方式进行学习,达到巩固和强化课堂所学知识的目的。

3.答疑助学

答疑助学要服从于教学大纲、文字教材,采用讲解、讨论、答疑等方式,通过解题思路分析,基本方法训练,培养学生基本运算的能力和分析、解决问题的能力。

4.作业

独立完成作业是学生学好本课程的一项重要的、必不可少的工作。作业内容以教材中的习题为主,通过这些习题的练习,逐步加深对课程中各种概念的理解,熟悉各种基本解题方法,达到基本掌握本课程主要内容的目的。

5.考试

考试题目要全面,符合大纲要求,同时要做到体现重点,题量适度,难度适中,题量和难度的梯度应按照教学的三个不同层次安排。

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教学团队

教师队伍中理论课程主讲教师 4(其中硕士生导师2人)人,后备理论课教学教师2人(其中硕士生导师1人),辅导、多媒体网络教学研究、数学实验2人(其中1名后备主讲教师),初步形成老、中、青相结合的教研梯队。矩阵论课程组是一支年龄结构、学缘结构、学历结构合理的、精干富有朝气、师德高爱岗敬业且有发展前途的教学团队,团队成员通过自已的工作在教书育人和科研方面做出了突出贡献。课程组成员中先后有3人次分获省、市级个人先进表彰,5人次获校级优秀教师、师德标兵、1人次获校多媒体优秀教学奖、济南大学青年教学能手提名(前20名)1人;主持国家自然科学基金项目2项、参与国家自然科学基金项目3项、主持省科研基金项目4项、主持省教研项目7项、主持校级教学研究项目7项;取得省级教学成果奖3项,校级教科研成果9项;近年项目组成员以第一作者(或通讯作者)在国内外学术期刊、国内外学术会议论文集上发表学术论文撰写发表教学研究与科学研究论文70余篇,其中被SCIEIISTP三大检索收录论文40多篇次,其余大部分发表于国内核心期刊。   矩阵论课程组师资力量强、教学和学术水平高、师德高尚、注重教书育人与理论联系实际。多年来,本课程的教学深受学生的欢迊与好评,学生对教师的评优率平均95%以上。